Page 6 - 35Linear Algebra
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9.3 Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10 Linear Independence 203
10.1 Showing Linear Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.2 Showing Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.3 From Dependent Independent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.4 Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
11 Basis and Dimension 213
n
11.1 Bases in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.2 Matrix of a Linear Transformation (Redux) . . . . . . . . . . 218
11.3 Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12 Eigenvalues and Eigenvectors 225
12.1 Invariant Directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.2 The Eigenvalue–Eigenvector Equation . . . . . . . . . . . . . . 233
12.3 Eigenspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
12.4 Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13 Diagonalization 241
13.1 Diagonalizability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
13.2 Change of Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
13.3 Changing to a Basis of Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.4 Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
14 Orthonormal Bases and Complements 253
14.1 Properties of the Standard Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
14.2 Orthogonal and Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . 255
14.2.1 Orthonormal Bases and Dot Products . . . . . . . . . . 256
14.3 Relating Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
14.4 Gram-Schmidt & Orthogonal Complements . . . . . . . . . . 261
14.4.1 The Gram-Schmidt Procedure . . . . . . . . . . . . . . 264
14.5 QR Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
14.6 Orthogonal Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
14.7 Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
15 Diagonalizing Symmetric Matrices 277
15.1 Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
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