Page 4 - 35Linear Algebra
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                               2.5   Solution Sets for Systems of Linear Equations . . . . . . . . . 63
                                     2.5.1  The Geometry of Solution Sets: Hyperplanes . . . . . . 64
                                     2.5.2   Particular Solution + Homogeneous Solutions . . . . . 65
                                     2.5.3  Solutions and Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
                               2.6   Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

                            3 The Simplex Method                                                       71
                               3.1   Pablo’s Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
                               3.2   Graphical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
                               3.3   Dantzig’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
                               3.4   Pablo Meets Dantzig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
                               3.5   Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80


                            4 Vectors in Space, n-Vectors                                              83
                                                                              n
                               4.1   Addition and Scalar Multiplication in R . . . . . . . . . . . . 84
                               4.2   Hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
                               4.3   Directions and Magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
                               4.4   Vectors, Lists and Functions: R S   . . . . . . . . . . . . . . . . 94
                               4.5   Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

                            5 Vector Spaces                                                          101
                               5.1   Examples of Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
                                     5.1.1  Non-Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
                               5.2   Other Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
                               5.3   Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

                            6 Linear Transformations                                                 111
                               6.1   The Consequence of Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
                               6.2   Linear Functions on Hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . . 114
                               6.3   Linear Differential Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
                               6.4   Bases (Take 1)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
                               6.5   Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


                            7 Matrices                                                               121
                               7.1   Linear Transformations and Matrices . . . . . . . . . . . . . . 121
                                     7.1.1  Basis Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
                                     7.1.2  From Linear Operators to Matrices . . . . . . . . . . . 127
                               7.2   Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129


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