Page 5 - 35Linear Algebra
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7.3 Properties of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.3.1 Associativity and Non-Commutativity . . . . . . . . . 140
7.3.2 Block Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3.3 The Algebra of Square Matrices . . . . . . . . . . . . 143
7.3.4 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.4 Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.5 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.5.1 Three Properties of the Inverse . . . . . . . . . . . . . 150
7.5.2 Finding Inverses (Redux) . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.5.3 Linear Systems and Inverses . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.5.4 Homogeneous Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.5.5 Bit Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.6 Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.7 LU Redux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.7.1 Using LU Decomposition to Solve Linear Systems . . . 160
7.7.2 Finding an LU Decomposition. . . . . . . . . . . . . . 162
7.7.3 Block LDU Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.8 Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8 Determinants 169
8.1 The Determinant Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.1.1 Simple Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.1.2 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2 Elementary Matrices and Determinants . . . . . . . . . . . . . 174
8.2.1 Row Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2.2 Row Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.2.3 Row Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.2.4 Determinant of Products . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.3 Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.4 Properties of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.4.1 Determinant of the Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.4.2 Adjoint of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.4.3 Application: Volume of a Parallelepiped . . . . . . . . 192
8.5 Review Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9 Subspaces and Spanning Sets 195
9.1 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2 Building Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
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