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CONTENTS 7 8 CONTENTS
21.1 Schr¨odinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 B Results for simple one-electron systems 195
21.2 Perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 B.1 1d H atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
21.3 Optical response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 B.2 Harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
21.4 Questions about time-dependent quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . 170 B.3 H atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
C Green’s functions 199
22 Time-dependent density functional theory 171
22.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 D Further reading 201
22.2 Runge-Gross theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
22.3 Kohn-Sham equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 E Discussion of questions 203
22.4 Adiabatic approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
F Solutions to exercises 209
22.5 Questions on general principles of TDDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
F.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
F.2 Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
23 Linear response 179
F.3 One electron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
23.1 Dyson-like response equation and the kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
F.4 Two electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
23.2 Casida’s equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
F.5 Many electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
23.3 Single-pole approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
F.6 Density functional theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
F.7 Kohn-Sham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
24 Performance 183
F.8 Local density approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
24.1 Sources of error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
F.9 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
24.2 Poor potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 F.10 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
24.3 Transition frequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 F.11 Simple exact conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
24.4 Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 F.12 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
24.5 Molecules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
G Answers to extra problems 285
24.6 Strong fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
25 Exotica 187
25.1 Currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
25.2 Initial-state dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
25.3 Lights, camera, and...Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
25.4 Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
25.5 Back to the ground state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
25.6 Multiple excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
25.7 Exact conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

A Math background 191
A.1 Lagrange multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A.2 Properties of the δ-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
A.3 Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193