Page 354 - 35Linear Algebra

354 Sample Final Exam

   
1 2
1
vectors  2  and   are clearly linearly independent, so this is the
−3 0
least number of vectors spanning U for this value of a. Also we see that
3
dimU = 2 in this case. Your picture should be a plane in R though the
   
1 2
1 .
origin containing the vectors  2  and  
−3 0
7.

1 x
det = y − x ,
1 y
 2   2 
1 x x 1 x x
2
det  1 y y 2  = det  0 y − x y − x 2 
2
1 z z 2 0 z − x z − x 2
2
2
2
2
= (y − x)(z − x ) − (y − x )(z − x) = (y − x)(z − x)(z − y) .
 2 3   2 3 
1 x x x 1 x x x
2
3
1 y y 2 y 0 y − x y − x 2 y − x
 3  3
det   = det  
3
2
1 z z 2 z 0 z − x z − x 2 z − x
 3  3
3
2
1 w w 2 w 3 0 w − x w − x 2 w − x 3
 
1 0 0 0
2
0 y − x y(y − x) y (y − x)
 
= det  2 
 0 z − x z(z − x) z (z − x) 
2
0 w − x w(w − x) w (w − x)
 
1 0 0 0
 0 1 y y 2
= (y − x)(z − x)(w − x) det  
0 1 z z
 2
0 1 w w 2
 2 
1 y y
= (y − x)(z − x)(w − x) det  1 z z 2 
1 w w 2
= (y − x)(z − x)(w − x)(z − y)(w − y)(w − z) .
From the 4 × 4 case above, you can see all the tricks required for a general
Vandermonde matrix. First zero out the first column by subtracting the
first row from all other rows (which leaves the determinant unchanged).
354